9. TALLER N° 5

MANEJO DE EXPRESIONES CUANTIFICADAS

Por: Clara Mejía L.

9.1. OBJETIVOS

9.1.1. Reflexionar sobre situaciones concretas, planteadas por medio de los bloques lógicos, para inducir los esquemas básicos del cálculo cuantificacional.

9.1.2. Hacer ampliación del esquema, llevando la estructura de la argumentación a otros contextos de la vida diaria y matemáticos.

9.1.3. Introducir el uso de diagramas de Venn para hacer inferencias en razonamientos que involucran cuantificación.

9.2. METODOLOGÍA

Para introducir los esquemas básicos del cálculo de predicados o lógica cuantificacional, retomamos los bloques lógicos. Con este material es posible establecer, de una forma que podría catalogarse como evidente, el tipo de conclusiones que pueden inferirse a partir de enunciados que involucran cuantificadores y la forma como la negación afecta este tipo de enunciados.

La estrategia se plantea por medio de actividades que involucran, en primer lugar, los bloques lógicos y, luego, se transfiere el esquema a una situación planteada en el lenguaje corriente o al interior de las matemáticas.

También se proponen situaciones argumentativas que involucran cuantificadores, con el fin de que el alumno pueda establecer la validez o no de las conclusiones establecidas. Las situaciones planteadas tienen un contenido que es muy familiar a los alumnos con quienes se desarrolló el trabajo. El docente podrá adaptar los enunciados de modo que sean significativos para el grupo de alumnos con los que esté trabajando.

Finalmente, se hace una presentación, más organizada, de los contenidos teóricos que ya el estudiante ha venido construyendo mediante las actividades propuestas.

9.3. ACTIVIDADES

9.3.1. Primera actividad con bloques lógicos

Seleccione únicamente los bloques rojos como material de trabajo para las siguientes actividades.

  1. Forme dentro de este conjunto, un subconjunto no vacío cualquiera. ¿Qué puede afirmarse de las características de este subconjunto? ¿Podrá determinarse una propiedad común a cualquier subconjunto que pueda construirse?

  2. Observe en particular el subconjunto de los bloques cuadrados. Se introducen todos los bloques rojos en una bolsa. Alguien extrae al azar un bloque y lo mantiene oculto al auditorio.

¿Puede afirmarse con certeza que el bloque extraído es cuadrado?

¿Puede afirmarse que todos los bloques rojos son cuadrados?

9.3.2. Análisis de expresiones en el lenguaje ordinario y las matemáticas

  • Se sabe que:

    "Los vertebrados son animales"
    "Rayito es un animal"

    con esta información:

    1. ¿Puede afirmarse que Rayito es un vertebrado?
    2. ¿Qué puede afirmarse con certeza de Rayito?

  • Considere el conjunto de los números impares.

    {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...}

Observe que números impares como: 3, 7, 13, 19 son primos (sólo pueden dividirse por 1 ó por el mismo número); esto permite afirmar que:

"Existen números impares que son primos"

Con esta información:

  1. ¿Puede concluir que el 9 es un número primo?
  2. ¿Puede concluir que todos los números impares son primos?
  • Dada la siguiente afirmación:

    "El cuadrado de todo número es mayor que el número"

    Determine si esta afirmación es verdadera o falsa.

9.3.3. Segunda actividad con los bloques lógicos.

Continúe con el conjunto de bloques rojos.

- "Todos los bloques son rojos" es lo mismo que afirmar:

  1. Algunos bloques son rojos.
  2. Algunos bloques son cuadrados.
  3. No todos los bloques son triángulos.
  4. No hay bloques que no sean rojos.

¿Cuál o cuáles de las opciones considera correcta?

- "Existe un bloque cuadrado" es lo mismo que afirmar:

  1. Hay bloques que no son cuadrados.
  2. Todos los bloques son cuadrados.
  3. No todos los bloques son no cuadrados.
  4. Algunos bloques son cuadrados.

¿Cuál o cuáles de las opciones considera correcta?

- Vuelva al conjunto de los números impares

"Existe un número primo par" es lo mismo que afirmar:

  1. Hay primos que no son pares.
  2. Todos los primos son pares.
  3. Algunos primos son pares.
  4. No todos los primos son impares.

¿Cuál o cuáles de las opciones considera correcta(s)?

9.3.4. Tercera actividad con bloques lógicos. Expresiones que involucran negación.

Conjunto referencial: Conjunto de bloques rojos.

  • Formar el conjunto de todos los bloques rojos que cumplen la propiedad: "No todos los bloques son cuadrados".
  • Formar el conjunto de bloques que satisfacen la propiedad: "Todos los bloques son no cuadrados".
  • Formar el conjunto de bloques que satisfacen la propiedad: "Ningún bloque es cuadrado".
  1. Qué relación existe entre los conjuntos formados?
  2. Puede usted sacar alguna conclusión sobre los tres enunciados que determinan estos conjuntos?

9.3.5. Expresiones que involucran negaciones en el lenguaje ordinario.

  • La afirmación: "No todos los estudiantes presentaron la prueba", significa lo mismo que:

    1. Todos los estudiantes no presentaron la prueba
    2. Nadie presentó la prueba
    3. Algún estudiante no presentó la prueba
    4. Algunos estudiantes no presentaron la prueba.

  • ¿Cuál o cuáles de las opciones considera correcta(s)?

  • La afirmación: "Todos los mamíferos son no voladores", significa lo mismo que:

    1. No todos los mamíferos son voladores.
    2. Ningún mamífero es volador.
    3. No existe un mamífero que vuele.
    4. Si un animal vuela, entonces no es mamífero.

  • ¿Cuál o cuáles de las opciones considera correcta(s)?

9.4. RAZONAMIENTO LÓGICO UTILIZANDO CUANTIFICADORES

9.4.1. Dadas las siguientes afirmaciones consideradas como verdaderas:

  • "Todos los alumnos del liceo asistieron al paseo"
  • "Algunos profesores asistieron al paseo"
  • "Todos los asistentes al paseo se bañaron en la quebrada"
  • "David López se bañó en la quebrada".

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son válidas a partir de la información anterior?

  1. Todos los profesores del colegio se bañaron en la quebrada.
  2. Todos los estudiantes del Liceo se bañaron en la quebrada.
  3. Algún profesor del Liceo se bañó en la quebrada.
  4. David López es un estudiante del Liceo.
  5. Cualquiera de los que se bañó en la quebrada es estudiante o profesor del Liceo.
  6. Algunos estudiantes del Liceo se bañaron en la quebrada.

9.4.2. Dadas las siguientes afirmaciones que se consideraron verdaderas:

  • "Todos los estudiantes de 11 del IDEM de Barbosa presentaron pruebas ICFES"
  • "José García es estudiante de 11 en Barbosa y no presentó pruebas ICFES"
  • "Alejandro Ortiz es estudiante de 11 en Barbosa y presentó pruebas ICFES"
  • "Carlos González es estudiante de 11 en Barbosa, no estudia en el IDEM y presentó pruebas ICFES".

A partir de las afirmaciones anteriores, señale la validez o invalidez de las siguientes proposiciones:

  1. No todos los estudiantes de 11 de Barbosa, presentaron pruebas ICFES.
  2. No todos los estudiantes de 11 de Barbosa son estudiantes del IDEM de Barbosa.
  3. Alejandro Ortiz es estudiante de 11 en el IDEM de Barbosa.
  4. Algún estudiante de 11 del IDEM de Barbosa no presentó las pruebas del ICFES.
  5. Algún estudiante de 11 de Barbosa no presentó las pruebas ICFES.

9.4.3. Elena afirmaba que la morsa es un pez, porque todos los peces viven en el agua y la morsa vive en el agua. Lucía le refutó su argumento diciéndole que en el agua vivían, además, de los peces otros animales y, por lo tanto, esto no era suficiente.

La profesora les explicó que, en efecto, Lucía tenía razón y que en el caso de la morsa se trataba de un mamífero acuático y no de un pez. A continuación, le propone a Elena el siguiente razonamiento: "El atún vive en el agua; luego el atún es un pez". ¿Qué puede decir acerca de la validez de este razonamiento?

9.4.4. Dos condiscípulos se encuentran con su profesor y uno de ellos, bastante preocupado por los resultados de los trabajos presentados, le pregunta:

  • ¿Profesor, cómo estuvieron los trabajos?

A lo cual el profesor responde:

  • Hay trabajos bastante buenos.

Los muchachos se quedan pensando en la afirmación hecha por su maestro y el alumno "preocupado" dice:

  • De modo que hay trabajos bastante buenos, o sea que hay otros trabajos que no están buenos. ¿Será que no me fue bien?

Su compañero lo mira extrañado y le dice:

  • ¿Por qué sacas esa conclusión? El sólo dijo que había trabajos muy buenos. No sabemos si habrá también trabajos malos o si, por el contrario, todos los trabajos están bien. Mejor espera y no te preocupes inútilmente.

¿Ud. que opina? ¿Cuál de los compañeros tiene la razón?

Elementos Teóricos. Reflexiones acerca de las actividades desarrolladas.

Universo de referencia. Subconjunto.

Se ha tomado como material de trabajo el conjunto de bloques rojos.

Si se designa: Rx: x es un bloque rojo.

El conjunto formado se puede representar así:

A = { x / x es un bloque rojo} o

A = { x / Rx}

Este conjunto A será, en este caso, el universo de referencia.

Si se toma un bloque rojo x, de él se puede decir que es un elemento de A, lo cual se puede escribir,

xA

El signo se llama signo de pertenencia y la expresión xA se lee

" x pertenece a A"

Cuando del conjunto A , se distinguen aquellos que son cuadrados, se está formando un subconjunto del conjunto A.

Designe: Qx: x es un bloque cuadrado y forme el conjunto:

B = { xA / x es un bloque cuadrado} o

B = { xA / Qx }

Esta situación puede ilustrarse por medio de un diagrama de Venn , así:

O también,

El área sombreada indica que en esa región no hay elementos; o sea que todos los elementos de B están en A. Cuando esto ocurre, se escribe:
B A y se lee:

B está contenido en A.

B está incluido en A.

B es un subconjunto de A.

Cuantificadores.

Se sabe que todos los bloques son rojos. Para expresar esta propiedad común a todos los objetos, se utiliza un símbolo especial (x) y se lee, para todo x.

La expresión "todos los bloques son rojos", puede representarse así:
(x)(Rx). De un bloque extraído del conjunto, lo único que puede afirmarse con certeza es que es rojo.

Para todo bloque, si el bloque es cuadrado, entonces, es rojo .

(x)(Qx Rx)

O sea, B A

Si se dice que dentro del conjunto A , hay algunos bloques que son cuadrados; se puede afirmar que , existen bloques que son cuadrados . Para expresar esta propiedad, que verifican algunos bloques, se emplea el símbolo "x", el cual se lee: "Existe al menos un x".

La expresión: "Existe al menos un bloque rojo que es cuadrado", puede, entonces, representarse así:

(x)(RxQx).

La representación por medio de un diagrama es la siguiente:

La x en la zona común a los dos conjuntos, indica que hay por lo menos un elemento que verifica ambas propiedades.

 Negación de cuantificadores.

Se sabe que "no todos los bloques son cuadrados", porque al observar la colección se ve que algunos bloques no son cuadrados. Esto es:

"no todos los bloques son cuadrados" equivale a "Existen bloques que no son cuadrados".

Simbolizando:

Ahora, cuando se afirma que: "no existen aves que vivan en el agua" es porque "todas las aves viven fuera del agua".

Para llevar estas expresiones a una forma simbólica, se debe ubicar el universo del discurso o conjunto de referencia como el conjunto de aves; de esta forma, la variable x designará un ave cualquiera, si se designa,

Ax: x vive en el agua. Se puede simbolizar la expresión así:

cuando se forma el conjunto que satisface la propiedad "ningún bloque es cuadrado", se debe garantizar que "todos los bloques sean no cuadrados" o equivalentemente que "no existan bloques cuadrados". Entonces:

Es posible observar que el esquema utilizado es el mismo del ejemplo anterior.

Inferencia utilizando diagramas de Venn.

Represente diagramáticamente los siguientes enunciados:

"Todos los cuadrúpedos son vertebrados"

"Rayito es un vertebrado".

Sean:


La letra a designa a Rayito, del cual no sabemos si está o no en el conjunto de los cuadrúpedos y por tanto se ubica en la línea de separación.

De rayito lo único que puede afirmarse con certeza es que es vertebrado.

  • "Existen números impares que son primos". ( x)(Ix Px).

Llame I al conjunto de los impares y P al conjunto de los primos, se puede afirmar que el conjunto formado por los impares que son primos, denotado   I P, no es vacío, es decir: I P ( : conjunto vacío).

La proposición "Ningún bloque es cuadrado" se puede representar por medio de un diagrama, donde en la zona común al conjunto de bloques A y al conjunto de cuadrados B no haya elementos , o sea que: A B = .

La zona rayada significa que allí no hay elementos.

Una afirmación del tipo: "Algún estudiante no presentó la prueba", puede ser representada así:

Sean, E: El conjunto de los estudiantes.

P: El conjunto de los que presentaron la prueba .

La x en esa región, significa que por lo menos un estudiante no presentó la prueba. O sea, E P’ ; donde P’ representa el conjunto de los que no presentaron la prueba.

Proposiciones categóricas.

Las proposiciones que se han venido analizando son las que la lógica tradicional denomina proposiciones categóricas. Hay cuatro tipos de proposiciones categóricas:

1. Tipo A o universal afirmativa. " Todos los cuadrúpedos son vertebrados".

Si A representa el conjunto de los cuadrúpedos y B el conjunto de los vertebrados, se puede decir que A B. Simbolizando,

(( x)(Cx Vx)) (A B).

Llame B’ al conjunto formado por los elementos que no pertenecen a B, entonces: (A B) (A B’ = ).

2. Tipo E o universales negativas. "Ningún estudiante presentó la prueba".

Representando por A el conjunto de los estudiantes y por B el de los que presentaron la prueba, se puede decir que A B = .

Simbolizando, (( x)(Ex no Px)) (A B = ).

Tipo I o particulares afirmativas. "Algunos números impares son primos".

Si A representa el conjunto de los impares y B el de los primos, ocurre que:

A B . Esto es: ( x)(Ix Px) (A B ).

Tipo O, particulares negativas. "Algún estudiante no presentó la prueba".

Representando como A el conjunto de los estudiantes y como B el de los que presentaron la prueba, se tiene que:

( x)(Ex no Px) (A B’ ).

La lógica tradicional construía el siguiente cuadrado llamado cuadrado de oposición para representar estos tipos de proposiciones.

La representación mediante diagramas se pude resumir así:

El método de los diagramas de Venn aplicado a razonamientos que involucran cuantificadores y más de dos clases.

Cuando en un razonamiento están involucradas dos o tres clases, éstas se representan mediante círculos intersecados así:

Cuando en el razonamiento intervienen 4 clases, se representan mediante elipses:

En principio, podrían usarse diagramas para verificar la validez de razonamientos de 5 o más términos de clase, pero dada su complejidad , su utilización resulta poco práctica.

La representación de un razonamiento en el diagrama sigue las siguientes reglas:

1. Se representan en el diagrama las premisas, tomando en primer lugar las universales.

2. Se verifica si la conclusión ha quedado representada, teniendo en cuenta que:

2.1. Una zona sombreada representa la clase vacía.

2.2. Una zona con x, representa una clase no vacía, que tiene por lo menos un individuo.

2.3. Una zona en blanco representa falta de información.

Si la conclusión queda representada, el razonamiento es válido , de lo contrario es inválido

Observe algunos ejemplos:

Determine si los siguientes razonamientos son válidos o no, mediante el método de los diagramas de Venn .

1. Todos los gatos saltan. G S’ =
    Ninguna tortuga salta. T S =
    Ninguna tortuga es un gato. T G = (Conclusión).

Sean: G = {x / x es un gato}, S = {x / x salta} y T = { x / x es una tortuga}.

La conclusión ha quedado representada en el diagrama ya que T G está sombreada , lo que indica que T G = . Y el razonamiento es válido.

2. Algunos médicos son investigadores. M I
    Algunos investigadores no practican la medicina. I P’
    Algunos médicos no practican la medicina. M P’ .

Sean : M = {x / x es médico}, I = {x / x es investigador},

P = {x / x practica la medicina}.

Nota:

Cuando la zona, donde ha de colocarse una x es compuesta , es decir, está dividida por una línea , la x debe colocarse sobre la línea , y se interpreta como afirmando que por lo menos una de las zonas es no vacía

No hay seguridad de que la zona que representa M P’ no sea vacía .La conclusión no ha quedado representada . Por lo tanto , el razonamiento es inválido.

3. Los galgos son perros. G P’ =
    Los perros son vertebrados P V’ =
    Ningún vertebrado vuela. V E =
    Ningún galgo vuela. G E =

Sean:

G = {x / x es un galgo}
P = {x / x es perro}
V = {x / x es vertebrado}
E = {x / x vuela}

La intersección de G con E ha quedado representada. Luego, el razonamiento es válido.

4. Todos los minerales que sirven para la industria son útiles para el hombre.
Todos los minerales sirven para la industria o son útiles para el hombre.
Todos los minerales son útiles para el hombre

Sean: A = {x / x es un mineral} (A B) C’ = .
B = {x / x sirve para la industria} A (B C)’ =
C = {x / x es útil para el hombre} ___________________
                                                            A C’ =

La conclusión ha quedado representada. Luego, el razonamiento es válido.

9.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

Aplique el método de los diagramas de Venn a los siguientes razonamientos para determinar si son o no válidos.

9.5.1.

Todos los españoles son músicos
Todos los españoles son europeos
Algunos europeos son músicos

9.5.2.

Todos los campesinos cultivan la tierra
Algunos campesinos no obtienen buenas cosechas
Algunos de los que cultivan la tierra no obtienen buenas cosechas

9.5.3.

Algunos animales son agresivos
Algunos monos son agresivos
Algunos animales son monos

9.5.4.

Ningún elefante es ágil
Algunos perros son ágiles
Algunos perros no son elefantes

9.5.5.

Los porteños son optimistas
Algunos porteños no son amables
Algunos optimistas no son amables.

Determine la validez del argumento para cada una de las conclusiones propuestas.

9.5.6.

Todos los poetas son gente interesante.
Aurora es una persona interesante.

  • Aurora es poetisa.
  • Aurora no es poetisa.

9.5.7.

Todos los poetas son pobres.
Para ser profesor se debe recibir grado universitario.
Ninguna persona con grado universitario es pobre.

  • Los profesores no son pobres.
  • Los poetas no son profesores.
  • Si Marcos tiene grado universitario, entonces no es poeta.

9.5.8.

Todos los matemáticos son personas interesantes.
Algunos profesores venden seguros.
Solamente las personas que no son interesantes se dedican a vender seguros

  • Los vendedores de seguros no son matemáticos.
  • Algunas personas interesantes no son profesores.
  • Algunos profesores no son personas interesantes.
  • Algunos matemáticos son profesores.
  • Algunos profesores no son matemáticos.
  • Si Enrique es matemático, entonces no vende seguros.